Question

【題目】（本小題滿分14分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若存在兩條直線，都是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；．（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ），對(duì)a進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．當(dāng)時(shí)，令，得．的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（Ⅱ）因?yàn)?/span> 存在兩條直線，都是曲線的切線，

所以 至少有兩個(gè)不等的正實(shí)根，令得，記其兩個(gè)實(shí)根分別為．

則 解得．再說(shuō)明當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線分別為，是兩條不同的直線即可；（Ⅲ）只需分類討論．

試題解析：（Ⅰ）． 1分

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是． 2分

當(dāng)時(shí)，令，得．

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下：

	↘	極小值	↗

所以 的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是． 4分

（Ⅱ）因?yàn)?/span> 存在兩條直線，都是曲線的切線，

所以 至少有兩個(gè)不等的正實(shí)根． 5分

令得，記其兩個(gè)實(shí)根分別為．

則 解得． 7分

當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線分別為，．

令．

由得（不妨設(shè)），且當(dāng)時(shí)，，即在上是單調(diào)函數(shù)．

所以 ．

所以 ，是曲線的兩條不同的切線．

所以 實(shí)數(shù)的取值范圍為． 9分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是內(nèi)的減函數(shù)．

因?yàn)?/span> ，

而，不符合題意． 11分

當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知：的最小值是．

（ⅰ）若，即時(shí)，，

所以，符合題意．

（ⅱ）若，即時(shí)，．

所以，符合題意．

（ⅲ）若，即時(shí)，有．

因?yàn)?/span> ，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，

所以 當(dāng)時(shí)，．

又因?yàn)?/span> 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

所以 ．

所以 符合題意．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為． 14分