【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率;

(Ⅱ)判斷方程的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù),說明理由;

(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),的取值范圍

【答案】見解析

【解析】試題分析:求導(dǎo).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得.

(Ⅱ)設(shè), .

的單調(diào)性及因?yàn)?/span> ,可知有且只有一個(gè),使成立.即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),由于在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),兩側(cè)異號(hào).

的單調(diào)性可知函數(shù)處取得極大值.

當(dāng)時(shí),雖然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn), 兩側(cè)同號(hào),不滿足在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)的要求.

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào),

則只需滿足: .即可得到的取值范圍

試題解析:

. .

(Ⅱ)設(shè), .

當(dāng)時(shí), ,則函數(shù)為減函數(shù).

又因?yàn)?/span>, ,

所以有且只有一個(gè),使成立.

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),由于在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),兩側(cè)異號(hào).

因?yàn)楫?dāng)時(shí),函數(shù)為減函數(shù),所以在 ,成立,函數(shù)為增函數(shù)

, ,成立,函數(shù)為減函數(shù).

則函數(shù)處取得極大值.

當(dāng)時(shí),雖然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn), 兩側(cè)同號(hào),不滿足在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)的要求.

由于 ,顯然.

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),兩側(cè)異號(hào)

則只需滿足:

.即,解得.

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