Question

17．函數(shù)f（x）=ax³+x²+bx-$\frac{1}{3}$（a，b∈R），f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)，且x=1時(shí)f（x）有極小值-2，若不等式f′（x）+4＞n（xlnx-1）對(duì)任意正實(shí)數(shù)x恒成立，則正整數(shù)n的最大值5．（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.693，ln3=1.098，ln5=1.609，ln7=1.946）

Answer 1

分析 f′（x）=3ax²+2x+b，由于x=1時(shí)f（x）有極小值-2，可得f′（1）=0，f（1）=-2，解得a，b．不等式f′（x）+4＞n（xlnx-1），即：x²+2x+1＞n（xlnx-1），（x＞0）．令x₀lnx₀=1．則x₀∈（1，2），當(dāng)x＞x₀時(shí)，xlnx-1＞0，又x²+2x+1＞0．因此只考慮x＞x₀時(shí)，n的最大值即可．$n＜\frac{{x}^{2}+2x+1}{xlnx-1}$=g（x），
x＞x₀．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答 解：f′（x）=3ax²+2x+b，
∵x=1時(shí)f（x）有極小值-2，
∴f′（1）=3a+2+b=0，f（1）=a+1+b-$\frac{1}{3}$=-2，
解得$a=\frac{1}{3}$，b=-3．
∴f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），滿足條件．
不等式f′（x）+4＞n（xlnx-1），
即：x²+2x+1＞n（xlnx-1），（x＞0）．
令x₀lnx₀=1．則x₀∈（1，2），當(dāng)x＞x₀時(shí)，xlnx-1＞0，
又x²+2x+1＞0．
因此只考慮x＞x₀時(shí)，n的最大值即可．
$n＜\frac{{x}^{2}+2x+1}{xlnx-1}$=g（x），x＞x₀．
g′（x）=$\frac{（2x+2）（xlnx-1）-（{x}^{2}+2x+1）（lnx+1）}{（xlnx-1）^{2}}$=$\frac{（x+1）[（x-1）lnx-（x+3）]}{（xlnx-1）^{2}}$．
令h（x）=（x-1）lnx-（x+3），
h′（x）=lnx-$\frac{1}{x}$＞0，
∴h（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（x₀）=（x₀-1）lnx₀-（x₀+3）=-$\frac{1}{{x}_{0}}$-x₀-2．
h（6）=5ln6-9=5×1.791-9＜0．
h（7）=6ln7-10＞0．
∴h（x）的零點(diǎn)x₁∈（6，7）．
g（6）=$\frac{49}{6ln6-1}$≈5.03，g（7）=$\frac{64}{7ln7-1}$≈5.07．
∴n＜5.03．
∴正整數(shù)n的最大值為5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．