Question

6．求證：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{3n+1}$＜$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 類(lèi)似于數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n=2時(shí)顯然成立，假設(shè)n=k（k≥3，k∈N^*）時(shí)命題成立，通過(guò)當(dāng)n=k+1時(shí)放縮即得結(jié)論．

解答 證明：①當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)n=k（k≥3，k∈N^*）時(shí)命題成立，即$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{3k+1}$＜$\frac{9}{8}$成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=$\frac{1}{（k+1）+1}$+$\frac{1}{（k+1）+2}$+…+$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3（k+1）+1}$
=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{3k+1}$+[$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3（k+1）+1}$-$\frac{1}{k+1}$]
＜$\frac{9}{8}$+[$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3（k+1）+1}$-$\frac{1}{k+1}$]
＜$\frac{9}{8}$+$\frac{-6k+2}{（3k+2）（3k+3）（3k+4）}$
＜$\frac{9}{8}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；
由①②可知：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{3n+1}$＜$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，利用放縮法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．