Question

5．已知橢圓的焦點在x軸上，短軸長為$2\sqrt{3}$，離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l過該橢圓的左焦點，交橢圓于M、N兩點，且$|{MN}|=\frac{7}{2}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的短軸長與離心率，求出a，b，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）驗證直線的斜率不存在時，是否滿足題意；設(shè)出直線的方程，聯(lián)立方程組，利用韋達定理以及弦長公式求出直線的斜率，即可求出直線方程．

解答 解：（1）由已知有：$2b=2\sqrt{3}\begin{array}{\;}\end{array}\right.$；$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
得${c}^{2}=\frac{1}{4}{a}^{2}\begin{array}{\;}，\end{array}\right.$$b=\sqrt{3}$（2分），
∵c²=a²-b²，∴$\frac{1}{4}{a^2}={a^2}-3$（3分）
解得：a²=4，c²=1，b²=3（5分）
∴所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為  $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$①（6分）
（2）若直線無斜率，則l方程x=-1與橢圓交于$M（-1，\frac{3}{2}）\begin{array}{\;}，\end{array}\right.$$N（-1，-\frac{3}{2}）$，明顯不符　（7分）
則設(shè)l的斜率為k，M、N的坐標(biāo)分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵橢圓的左焦點為（-1，0），∴l(xiāng)的方程為y=k（x+1）②（8分）
①、②聯(lián)立可得3x²+4k²（x+1）²=12（10分）
∴（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$（11分）
∴$|MN|=\sqrt{{（{x}_{1}-{x}_{2}）}^{2}+{（{y}_{1}-{y}_{2}）}^{2}}=\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{（{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{64{k}^{4}-16（{k}^{2}-3）（3+4{k}^{2}）}{{（3+4{k}^{2}）}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{64{k}^{4}-16（{k}^{2}-3）（3+4{k}^{2}）}{{（3+4{k}^{2}）}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{7}{2}$
∴24k²+24=21+28k²…（12分）
∴${k^2}=\frac{3}{4}$即$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（13分）
∴l(xiāng)的方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（14分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查設(shè)而不求，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．