Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求證：PB⊥平面EFD；
（3）在線段AB上是否存在點M，使PM與平面PDB所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{38}}}{19}$？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意連接AC，AC交BD于O，連接EO，則EO是中位線，證出PA∥EO，由線面平行的判定定理知PA∥平面EDB；
（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥DC，再由DC⊥BC證出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形證出DE⊥平面PBC，則有DE⊥PB，再由條件證出PB⊥平面EFD；
（3）以D點為原點建立如圖所示的直角坐標系，得到D，P，A，B的坐標，設(shè)出M的坐標，進一步得到所用向量的坐標，然后結(jié)合PM與平面PDB所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{38}}}{19}$求得M的坐標，說明結(jié)論成立，并求出AM的長．

解答 （1）證明：如圖所示，連接AC，AC交BD于點O，連接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點．
在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO．
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB；
（2）證明：∵PD⊥底面ABCD，且DC?平面ABCD，∴PD⊥DC．
∵PD=DC，∴△PDC是等腰直角三角形．
又DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC．①
由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC．
又PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．
又DE?平面PDC，∴BC⊥DE．②
由①和②推得DE⊥平面PBC．
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB．
又EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD；
（3）解：以D點為原點建立如圖所示的直角坐標系
設(shè)M點坐標為（1，a，0）（0≤a≤1），則D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），
則$\overrightarrow{PD}=（0，0，-1），\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{PM}=（{1，a，-1}）$．
設(shè)平面PDB的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n}=（1，-1，0）$．
由|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PM}|}$|=|$\frac{1-a}{\sqrt{2}•\sqrt{{a}^{2}+2}}$|=$\frac{\sqrt{38}}{19}$，解得：a=$\frac{1}{3}$或a=$\frac{11}{5}$（舍）．
∴在線段AB上存在點M，使PM與平面PDB所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{38}}}{19}$，此時AM=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了線線、線面平行和垂直的相互轉(zhuǎn)化，通過中位線證明線線平行，再由線面平行的判定得到線面平行；垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化是由線面垂直的定義和判定定理實現(xiàn)，訓(xùn)練了利用空間向量求線面角，是中檔題．