Question

有編號(hào)為1，2，3，…，n的n名學(xué)生，入坐編號(hào)為1，2，3，…，n的n個(gè)座位，規(guī)定每個(gè)學(xué)生可隨機(jī)坐一個(gè)座位，記學(xué)生所坐的座位編號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生數(shù)為X，若當(dāng)X=2時(shí)，共有6種坐法．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求2號(hào)學(xué)生未坐2號(hào)座位且4號(hào)學(xué)生入坐4號(hào)座位的概率；
（Ⅲ）求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)X=2時(shí)，共有6種坐法，寫出關(guān)于n的表示式，解出未知量，把不合題意的舍去．
（Ⅱ）利用古典概型概率公式求解；
（Ⅲ）X的可能取值是0，2，3，4，理解變量對(duì)應(yīng)的事件，求出相應(yīng)的概率，可求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵當(dāng)X=2時(shí)，有C_n²種坐法，
∴C_n²=6，
即

n(n-1)

2

=6，
∴n²-n-12=0，
∴n=4或n=-3（舍去），
∴n=4． …（3分）
（Ⅱ）記“2號(hào)學(xué)生未坐2號(hào)座位且4號(hào)學(xué)生入坐4號(hào)座位”為事件A．
4名學(xué)生隨機(jī)入座4個(gè)座位共有

A

4 4

=24種等可能性結(jié)果，而事件A包含其中

C

1 2

A

2 2

=4種結(jié)果，
故P（A）=

4

24

=

1

6

  …（7分）
（Ⅲ）X的所有可能取值為：0，2，3，4，
當(dāng)變量是0時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)都相同，
當(dāng)變量是2時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)有2個(gè)相同，
當(dāng)變量是3時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)有1個(gè)相同，
當(dāng)變量是4時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)有0個(gè)相同，
則P（X=0）=

1

24

，P（X=2）=

C 2 4 ×1

A 4 4

=

6

24

，P（X=3）=

C 3 4 ×2

A 4 4

=

8

24

，P（X=4）=

9

24

故EX=0×

1

24

+2×

6

24

+3×

8

24

+4×

9

24

=3．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．屬中檔題．