Question

已知函數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx+

π

4

）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）討論f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的單調(diào)性；
（2）若在△ABC滿足f（A+

π

8

）=

2

-1（0＜A＜

π

2

），面積S=5

3

，邊長b=5，求sinBsinC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦定理,正弦定理的應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式為 一個角的一個三角函數(shù)的形式，討論f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的單調(diào)性；
（2）通過f（A+

π

8

）=

2

-1（0＜A＜

π

2

），求出A，利用面積S=5

3

，求出b，c，利用余弦定理求出a，然后利用正弦定理求sinBsinC的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx+

π

4

）
=4cosωx•（

2

2

sinωx+

2

2

cosωx）
=

2

sin2ωx+2

2

cos²ωx
=

2

sin2ωx+

2

（1+cos2ωx）
=2sin(2ωx+

π

4

)+

2

，
∵最小正周期為π，且ω＞0
∴ω=1，則f(x)=2sin(2x+

π

4

)+

2

若0≤x≤

π

2

，則

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
當(dāng)

π

4

≤2x+

π

4

≤

π

2

，即y=f（x）在[0，

π

8

]是單調(diào)遞增．
當(dāng)

π

2

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，即y=f（x）在[

π

8

，

π

2

]是單調(diào)遞減．
綜上可知，f（x）在區(qū)間[0，

π

8

]是單調(diào)遞增，在區(qū)間[

π

8

，

π

2

]是單調(diào)遞減．
（2）由條件f（A+

π

8

）=

2

-1
得

2

-1=2sin(2A+

π

4

+

π

4

)+

2

，
即cos2A=-

1

2

，0＜A＜

π

2

，
∴A=

π

3

，由面積S=5

3

，得bc=20，又b=5知c=4
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得a=

21

，
由正弦定理2R=

a

sinA

=

21

3 2

=2

7

，得sinCsinB=

bc

4R2

=

5

7

．

點(diǎn)評：本題考查解三角形，兩角和與差的三角函數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性的討論，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，是綜合性比較強(qiáng)的題目．