Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)在 上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）令，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)（是自然對數(shù)的底數(shù)）時(shí)，函數(shù)的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）欲求在點(diǎn)處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在[1，2]上是減函數(shù)可得到其導(dǎo)函數(shù)在[1，2]上小于等于0應(yīng)該恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的范圍．
（3）先假設(shè)存在，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再對的值分情況討論函數(shù)在（0，e]上的單調(diào)性和最小值取得，可知當(dāng)=e2能夠保證當(dāng)時(shí)有最小值3．

試題解析：

(1)當(dāng)時(shí)，

所以，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，

所以在[1,3]上恒成立.

令,有，得

故.

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使有最小值3，

①時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞減，

， （舍去）

②當(dāng)時(shí)， 在上恒成立， 所以在上單調(diào)遞減， （舍去）

③當(dāng)時(shí)，令，得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以， ，滿足條件

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得 時(shí)， 有最小值3．