Question

【題目】已知函數(shù)

（1）函數(shù)，若是的極值點(diǎn)，求的值并討論的單調(diào)性；

（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，其極小值為為，試比較與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）

【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)解出的值,從而確定的表達(dá)式,進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間;(2)對(duì)求導(dǎo), 有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),即方程在有兩個(gè)不同的實(shí)根，運(yùn)用判別式和韋達(dá)定理,可得到,列表求出的單調(diào)區(qū)間和最值,即可得出,再通過(guò)構(gòu)造，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在單調(diào)遞減,從而得出．

試題解析:（1） ，

，

因?yàn)?/span>是的極值點(diǎn)，所以，得， ，

此時(shí) ， ，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2） ，

，

因?yàn)?/span>有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以在有兩個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)此兩根為， ，且．

則，即，解得．

與隨的變化情況如下表：

由表可知 ，

因?yàn)?/span>，所以代入上式得：

，所以，

因?yàn)?/span>，且，所以．

令，則，

當(dāng)時(shí)， ，即在單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，有，

即．

點(diǎn)睛:本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用求單調(diào)性和極值,考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用,極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)與方程根的關(guān)系,屬于中檔題.極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題經(jīng)常與導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的方程根個(gè)數(shù)相互轉(zhuǎn)化,一元二次方程在有兩個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)轉(zhuǎn)化為判別式大于,韋達(dá)定理寫出兩根和與積,分別大于即可.