Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且函數(shù)的最小值為2．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（3）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2） （3）

【解析】試題分析：（1）由題意可得二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸和最小值，可根據(jù)頂點(diǎn)式設(shè)出解析式，再根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)求解；（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的位置關(guān)系，分類(lèi)討論求出函數(shù)的最小值；（3）分離參數(shù)得對(duì)恒成立，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)， 的最小值解決。

試題解析：

（1）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)函數(shù)滿(mǎn)足，

∴二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，

又函數(shù)的最小值為2．

∴設(shè)（）．

又點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，

∴，

解得．

∴．

（2）由（1）知， ，

則 ．

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以．

綜上函數(shù)在區(qū)間上的最小值

（3）由題意，得對(duì)恒成立，

∴對(duì)恒成立.

設(shè)， .

則 ，

而，

所以．

所以

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．