Question

巳知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}前三項的和為27，且滿足a₁a₃=65．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且對一切正整數(shù)n，點（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=

3x+1

2

-

3

2

的圖象上．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)cn =anbn，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列公式求解即可得出通項公式，就能夠的出答案．
（2）運用錯位相減法求解數(shù)列的和，分類討論求解∝

解答： 解：（1）∵a₁+a₂+a₃=27，
∴a₂=9，
a₁a₃=（9-d）（9+d）=81-d²=65，
d=4，d=-4（舍去），
a_n=a₂+（n-2）×4=4n+1，
S_n=

3n-1

3-1

×3，很明顯的等比數(shù)列求和，b_n=×3^n-1=3ⁿ
（2）設(shè)cn =anbn，數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
Tn=5×31+9×32+13×33+…+(4n+1)×3n①
3Tn=5×32+9×33+13×34+…+(4n+1)×3n+1②
由①-②可得：
-2Tn=5×3+4×(32+33+…+3n)-(4n+1)×3n+1
∴Tn=

3

2

+

(4n-1)×3n+1

2

，
故數(shù)列{c_n}的前n項和Tn=

3

2

+

(4n-1)×3n+1

2

，
∵d_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）λ，
d_n+1=3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺¹+2）λ，
∴d_n+1-d_n=2×3ⁿ+（-1）ⁿ（3×2ⁿ⁺¹+4）λ，
當(dāng)n為奇數(shù)時，2×3ⁿ-（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞0，
當(dāng)n為奇數(shù)時，2×3ⁿ-（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞0，
λ＜

3n

3×2n+2

=

1

3×( 2 3 )n+ 2 3n

，
n變大時，

1

3×( 2 3 )n+ 2 3n

變大，
即λ＜

3

6+2

=

3

8

，
當(dāng)n為偶數(shù)時，2×3ⁿ+（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞0，
λ＞-

3n

3×2n+2

=-

1

3×( 2 3 )n+ 2 3n

，
n變大時，-

1

3×( 2 3 )n+ 2 3n

變小，
即λ＞-

9

12+2

=-

9

14

，

點評：本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的和，裂項方法求解，運算量大，屬于難題．