【題目】若一個三角形的邊長與面積都是整數(shù),則稱為“海倫三角形”;三邊長互質(zhì)的海倫三角形,稱為“本原海倫三角形”;邊長都不是3的倍數(shù)的本原海倫三角形,稱為“奇異三角形”.
(1)求奇異三角形的最小邊長的最小值;
(2)求證:等腰的奇異三角形有無數(shù)個;
(3)問:非等腰的奇異三角形有多少個?
【答案】(1)5;(2)見解析;(3)見解析
【解析】
(1)設(shè)、
、
(
)是一個奇異三角形的三邊長.則由海海倫公式知
. ①
因為,所以,
、
、
中至少有一個為奇數(shù).如果
、
、
中有奇數(shù)個奇數(shù),則
、
、
、
都是奇數(shù),與式①矛盾.
因此,、
、
中恰有兩個為奇數(shù).
若,由
,知
.
因為,所以,
.
此時,、
、
中有奇數(shù)個奇數(shù),矛盾.
若,由
,知
.
因為,所以,
或
.
當(dāng)時,
,
,因此,
.
但,矛盾.
當(dāng)時,
、
一奇一偶.
故、
、
中恰有一個奇數(shù),矛盾.
若,則
、
都是奇數(shù).
由,知
.
又,于是,
或
.
當(dāng)時,
,
,所以,
為偶數(shù).
令.則
,
.
但,于是,
,
,故
,矛盾.
當(dāng)時,
,所以,
.令
,則
.
若,則
,與奇異三角形矛盾.若
,則
,也與奇異三角形矛盾.
綜上所述,.
又(5,5,8)是奇異三角形,故奇異三角形的最小邊長的最小值為5.
(2)若、
,
,
、
一奇一偶,則
是奇異三角形.
事實上,為整數(shù).
其次,因、
一奇一偶,則
.
故.
最后,因為,且
,故
、
中恰有一個是3的倍數(shù),所以,
、
都不是3的倍數(shù).
特別地,取,
.則
是奇異三角形.
類似知,若、
,
,
,
,
、
一奇一偶,則
是奇異三角形.
特別地,取,
,則
是奇異三角形.
(3)非等腰的奇異三角形亦有無數(shù)個.
取,令
,
,
.
因為為奇數(shù),所以,
、
、
為整數(shù),且顯然有
.
又因為不是3的倍數(shù),所以,
、
、
都不是3的倍數(shù).
最后,由于,于是,
、
都不是5的倍數(shù),進(jìn)而,由
,知
.
經(jīng)計算可得為整數(shù).
所以,(、
、
)是非等腰奇異三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上,橢圓的一個頂點(diǎn)為
,右焦點(diǎn)
到直線
的距離為
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過作兩條互相垂直的直線
,且
交橢圓
于
、
兩點(diǎn),
交橢圓
于
、
兩點(diǎn),求四邊形
的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
已知雙曲線設(shè)過點(diǎn)
的直線l的方向向量
(1) 當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時,求直線l的方程及l與m的距離;
(2) 證明:當(dāng)>
時,在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q,使之到直線l的距離為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊在某冰川山上相距8km的A、B兩點(diǎn)各建一個考察基地,視冰川面為平面形,以過A、B兩點(diǎn)的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖4).考察范圍到A、B兩點(diǎn)的距離之和不超過10km的區(qū)域.
(I)求考察區(qū)域邊界曲線的方程:
(II)如圖4所示,設(shè)線段是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界),當(dāng)冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍.問:經(jīng)過多長時間,點(diǎn)A恰好在冰川邊界線上?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三個圓交于一點(diǎn),又兩兩將于點(diǎn)
、
、
.以
為圓心的一個圓
與上述三個圓分別交于點(diǎn)
,
,
,其中,點(diǎn)
在不含點(diǎn)
的圓上,等等.又設(shè)
、
、
的外接圓交于一點(diǎn)
,
、
的外接圓交于一點(diǎn)
.證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
,
,橢圓上一點(diǎn)
與
,
的距離之和為
,且焦距是短軸長的2倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)過線段上一點(diǎn)的直線
(斜率不為0)與橢圓相交于
,
兩點(diǎn),當(dāng)
的面積與
的面積之比為
時,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】p:關(guān)于x的方程無解,q:
(
)
(1)若時,“
”為真命題,“
”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
(2)當(dāng)命題“若p,則q”為真命題,“若q,則p”為假命題時,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為
,上頂點(diǎn)為
.已知橢圓的離心率為
,
.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線:
與橢圓交于
,
兩點(diǎn),且點(diǎn)
在第二象限.
與
延長線交于點(diǎn)
,若
的面積是
面積的3倍,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)若等比數(shù)列的前n項和為
,求實數(shù)a的值;
(2)對于非常數(shù)數(shù)列有下面的結(jié)論:若數(shù)列
為等比數(shù)列,則該數(shù)列的前n項和為
(
為常數(shù)).寫出它的逆命題并判斷真假,請說明理由;
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