【題目】三個(gè)圓交于一點(diǎn),又兩兩將于點(diǎn)、、.以為圓心的一個(gè)圓與上述三個(gè)圓分別交于點(diǎn),,,其中,點(diǎn)在不含點(diǎn)的圓上,等等.又設(shè)、、的外接圓交于一點(diǎn), 、的外接圓交于一點(diǎn).證明:.
【答案】見解析
【解析】
以圓為基圓作反演,各點(diǎn)反演后的像仍用同一字母表示(下面出現(xiàn)的字母都是各點(diǎn)反演后的像).則三個(gè)圓的反形為三條直線、、(如圖).
只需證明反形中有.
由條件,反演后仍為、、的外接圓的交點(diǎn),仍為、、的外接圓的交點(diǎn).
首先證明:是點(diǎn)的等角共軛點(diǎn)(即等).
事實(shí)上,
.
設(shè)的等角共軛點(diǎn)為.則
.
所以,.
類似得到其他兩式.
于是,.
其次,作,關(guān)于的垂足三角形、(圖).
因,所以,、、、四點(diǎn)共圓.
同樣得到另兩個(gè)圓.
若這三個(gè)圓不重合,則其三條根軸(、、)共點(diǎn),此時(shí),三邊共點(diǎn),矛盾.
于是這三個(gè)圓重合,即、、、、、六點(diǎn)共圓,設(shè)其圓心為,則在、、的中垂線上,這些中垂線平分的中點(diǎn).
由共圓知,.
則.
繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度,再作以為中心的相似變換,使相似比為.
則,.
所以,.
顯然,.
故.
又為的中點(diǎn),故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司新上一條生產(chǎn)線,為保證新的生產(chǎn)線正常工作,需對(duì)該生產(chǎn)線進(jìn)行檢測(cè),現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品,測(cè)量產(chǎn)品數(shù)據(jù),用統(tǒng)計(jì)方法得到樣本的平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差,繪制如圖所示的頻率分布直方圖,以頻率值作為概率估值.
(1)從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取一件,記其數(shù)據(jù)為X,依據(jù)以下不等式評(píng)判(P表示對(duì)應(yīng)事件的概率)
①
②
③
評(píng)判規(guī)則為:若至少滿足以上兩個(gè)不等式,則生產(chǎn)狀況為優(yōu),無(wú)需檢修;否則需檢修生產(chǎn)線,試判斷該生產(chǎn)線是否需要檢修;
(2)將數(shù)據(jù)不在內(nèi)的產(chǎn)品視為次品,從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取2件,次品數(shù)記為Y,求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)如圖,為拋物線上三點(diǎn),且線段與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次組成公差為1的等差數(shù)列,若的面積是面積的,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)計(jì)劃發(fā)射火星探測(cè)器,該探測(cè)器的運(yùn)行軌道是以火星(其半徑)的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.如圖,已知探測(cè)器的近火星點(diǎn)(軌道上離火星表面最近的點(diǎn))到火星表面的距離為,遠(yuǎn)火星點(diǎn)(軌道上離火星表面最遠(yuǎn)的點(diǎn))到火星表面的距離為.假定探測(cè)器由近火星點(diǎn)第一次逆時(shí)針運(yùn)行到與軌道中心的距離為時(shí)進(jìn)行變軌,其中分別為橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng),求此時(shí)探測(cè)器與火星表面的距離(精確到).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年元旦班級(jí)聯(lián)歡晚會(huì)上,某班在聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球表演節(jié)目的游戲,在一個(gè)紙盒中裝有1個(gè)紅球,1個(gè)黃球,1個(gè)白球和1個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同,A同學(xué)不放回地每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則停止摸球,否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球表演兩個(gè)節(jié)目,摸到白球或黃球表演一個(gè)節(jié)目,摸到黑球不用表演節(jié)目.
(1)求A同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率;
(2)記X為A同學(xué)摸球后表演節(jié)目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)與面積都是整數(shù),則稱為“海倫三角形”;三邊長(zhǎng)互質(zhì)的海倫三角形,稱為“本原海倫三角形”;邊長(zhǎng)都不是3的倍數(shù)的本原海倫三角形,稱為“奇異三角形”.
(1)求奇異三角形的最小邊長(zhǎng)的最小值;
(2)求證:等腰的奇異三角形有無(wú)數(shù)個(gè);
(3)問(wèn):非等腰的奇異三角形有多少個(gè)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求證;
(3)設(shè),對(duì)于任意時(shí),總存在,使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等腰直角三角形ABO內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB,則△ABO的面積是( )
A.8p2B.4p2
C.2p2D.p2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列,且公差,若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列(按原來(lái)的順序)是等比數(shù)列,則的所有可能值是____.
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