Question

函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得滿足：f（x）在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)且在[a，b]上的值域為[2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]為函數(shù)f（x）的“和諧區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“和諧區(qū)間”的是

 

①f（x）=x³（x∈R）
②f（x）=

1

x

（x∈R，x≠0）
③f（x）=

4x

x2+1

（x∈R）
④f（x）=e^x（x∈R）
⑤f（x）=lg|x|+2（x∈R，x≠0）

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)“和諧區(qū)間”的定義只需逐個驗證函數(shù)是否滿足兩個條件即可．

解答： 解：對于①，易知f（x）x³在[a，b]上單調(diào)遞增，由題意設(shè)

a3=2a b3=2b

，解得當(dāng)

a=- 2 b=0

或

a=0 b= 2

或

a=- 2 b= 2

時，滿足條件；
對于②f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，取區(qū)間[a，b]⊆（0，+∞），由題意設(shè)

1 a =2b 1 b =2a

，所以只需ab=

1

2

即可，滿足條件；
對于③，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，取區(qū)間[a，b]⊆[-1，1]，由題意設(shè)

4a a2+1 =2a 4b b2+1 =2b

，解得當(dāng)

a=-1 b=0

或

a=0 b=1

或

a=-1 b=1

時，滿足條件；
對于④，易知f（x）=e^x遞增，由題意設(shè)

ea=2a eb=2b

，即a，b是方程e^x=2x的兩個根，由于兩函數(shù)

y=ex y=2x

沒有交點，故對應(yīng)方程無解，所以不滿足條件；
對于⑤f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，取區(qū)間[a，b]⊆（0，+∞），由題意設(shè)

lga+2=2a lgb+2=2b

，即a，b是方程lgx+2=2x的兩個根，由于兩函數(shù)

y=lgx+2 y=2x

有兩個交點，故對應(yīng)方程有兩個根，即存在a，b滿足條件．所以存在“和諧區(qū)間”的是①②③⑤．
故答案為：①②③⑤．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域求解，考查函數(shù)與方程思想，考查學(xué)生的閱讀理解能力及解決新問題的能力．