Question

如圖，在直角梯形SABC中，∠B=∠C=

π

2

，D為邊SC上的點，且AD⊥SC，現(xiàn)將△SAD沿AD折起到達PAD的位置（折起后點S記為P），并使得PA⊥AB，
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）若PD=AD=CD=2，點E滿足

BE

=λ

BP

（0≤λ≤1），使得平面EAC與平面PDC所成的銳角的大小為

π

4

？若存在，請求出λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)已知PA⊥AB，AB⊥AD，PA∩AD=A，依據(jù)線面垂直的判定定理推斷出AB⊥平面PAD，進而可知AB⊥PD，然后根據(jù)PD⊥AD，AB∩AD=A，利用線面垂直的定理可得PD⊥平面ABCD．
（2）以D為原點，

DA

，

DC

，

DP

分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則可得到A，B，C，P及

CB

，

BP

，

CA

的坐標(biāo)，進而可表示出

CE

，設(shè)

n1

=(x，y，z)是平面EAC的一個法向量，推斷出

n ⊥ CE n ⊥ CA

，進而利用法向量的定義可推斷出

(2-2λ)x-2λy+2λz=0 2x-2y=0

，令x=λ，則y=λ，z=2λ-1，進而表示出

n1

，又根據(jù)

n2

=(1，0，0)是平面PDC的一個法向量，最后利用非零向量的夾角計算公式求得λ．

解答： 解：（1）∵PA⊥AB，AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥AD，AB∩AD=A，
∴PD⊥平面ABCD．             
（2）以D為原點，

DA

，

DC

，

DP

分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，

CB

=(2，0，0)，

BP

=(-2，-2，2)，

CA

=(2，-2，0)，
∴

CE

=

CB

+

BE

=

CB

+λ

BP

=(2-2λ，-2λ，2λ)．
設(shè)

n1

=(x，y，z)是平面EAC的一個法向量，則

n ⊥ CE n ⊥ CA

，
即

(2-2λ)x-2λy+2λz=0 2x-2y=0

令x=λ，則y=λ，z=2λ-1，
∴

n1

=(λ，λ，2λ-1)．
又

n2

=(1，0，0)是平面PDC的一個法向量，
∴cos

π

4

=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|，即

2

2

=

λ

2λ2+(2λ-1)2

，
解得λ=

1

2

，
∴存在λ=

1

2

使得平面EAC與平面PDC所成的銳角的大小是

π

4

．

點評：本題主要考查了線面垂直的定義和判定定理的應(yīng)用，平面向量的運算，法向量的定義等知識．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的綜合運用．