Question

5．（1）已知p：-x²+8x+20≥0，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0）．若“￢p”是“￢q”的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）已知兩個關(guān)于x的一元二次方程mx²-4x+4=0和x²-4mx+4m²-4m-5=0，求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件．

Answer 1

分析 （1）先求出p，q為真時的x的范圍，根據(jù)q是p的充分不必要條件得到關(guān)于m的不等式組，解出即可；
（2）根據(jù)方程根的情況結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍，取交集即可．

解答 解：（1）p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m．-----（2分）
∵“非p”是“非q”的充分不必要條件，∴q是p的充分不必要條件． 
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{1-m≥-2}\\{1+m≤10}\end{array}\right.$，∴0＜m≤3．
∴實數(shù)m的取值范圍為0＜m≤3．-------（6分）
（2）∵mx²-4x+4=0是一元二次方程，∴m≠0．
又另一方程為x²-4mx+4m²-4m-5=0，且兩方程都要有實根，
∴$\left\{\begin{array}{l}△1=16（1-m）≥0\\△2=16m2-4（4m2-4m-5）≥0\end{array}$，
解得m∈[-$\frac{5}{4}$，1]----（8分）
∵兩方程的根都是整數(shù)，故其根的和與積也為整數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{m}∈Z\\ 4m∈Z，4m2-4m-5∈Z.\end{array}$
∴m為4的約數(shù)．又∵m∈[-$\frac{5}{4}$，1]，∴m=-1或1．
當(dāng)m=-1時，第一個方程x²+4x-4=0的根為非整數(shù)；
而當(dāng)m=1時，兩方程的根均為整數(shù)，
∴兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m=1．-----（12分）

點評 本題考查了充分必要條件，考查方程根的情況，是一道中檔題．