Question

15．在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知b=$\sqrt{2}$c，sinA+$\sqrt{2}$sinC=2sinB，則cosA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 已知第二個等式利用正弦定理化簡，把第一個等式代入用c表示出a，利用余弦定理表示出cosA，將表示出的a與b代入求出cosA的值即可．

解答 解：把sinA+$\sqrt{2}$sinC=2sinB，利用正弦定理化簡得：a+$\sqrt{2}$c=2b，
把b=$\sqrt{2}$c代入得：a+$\sqrt{2}$c=2$\sqrt{2}$c，即a=$\sqrt{2}$c，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2{c}^{2}+{c}^{2}-2{c}^{2}}{2\sqrt{2}{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵．