Question

15．若兩圓C₁：（x-a₁）²+（y-b₁）²=r²、C₂：（x-a₂）²+（y-b₂）²=r²相離，則曲線系[（x-a₁）²+（y-b₁）²-r²]+λ[（x-a₂）²+（y-b₂）²-r²]=0，當(dāng)λ=-1時(shí)表示的曲線與圓C₁、圓C₂的位置關(guān)系是怎樣的？請(qǐng)你給出證明．

Answer 1

分析 兩圓C₁：（x-a₁）²+（y-b₁）²=r²、C₂：（x-a₂）²+（y-b₂）²=r²相離，可得（a₂-a₁）²+（b₂-b₁）²＞4r²，當(dāng)λ=-1時(shí)，曲線表示直線，利用圓心C₁到直線的距離d=$\frac{（{a}_{2}-{a}_{1}）^{2}+（_{2}-_{1}）^{2}}{2\sqrt{（{a}_{2}-{a}_{1}）^{2}+（_{2}-_{1}）^{2}}}$＞r，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵兩圓C₁：（x-a₁）²+（y-b₁）²=r²、C₂：（x-a₂）²+（y-b₂）²=r²相離，
∴（a₂-a₁）²+（b₂-b₁）²＞4r²，
當(dāng)λ=-1時(shí)，曲線[（x-a₁）²+（y-b₁）²-r²]+λ[（x-a₂）²+（y-b₂）²-r²]=0化為
2（a₂-a₁）x+2（b₂-b₁）y+a₁²-a₂²+b₁²-b₂²=0，表示直線
圓心C₁到直線的距離d=$\frac{（{a}_{2}-{a}_{1}）^{2}+（_{2}-_{1}）^{2}}{2\sqrt{（{a}_{2}-{a}_{1}）^{2}+（_{2}-_{1}）^{2}}}$＞r，
∴當(dāng)λ=-1時(shí)表示的曲線與圓C₁相離．
同理，與圓C₂相離．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．