Question

16．已知：$f（x）=lg\frac{ax+1}{1-x}$，a∈R且a≠-1
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在[10，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程，即可求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），即$lg\frac{-ax+1}{1+x}=-lg\frac{ax+1}{1-x}$，
有$\frac{-ax+1}{1+x}=\frac{1-x}{ax+1}$，得1-a²x²=1-x²，解得：a=1；--------------（3分）
（Ⅱ）當a＞0時，由$\frac{ax+1}{1-x}＞0$得$\frac{{x+\frac{1}{a}}}{1-x}＞0$，即$（x+\frac{1}{a}）（x-1）＜0$．
因為$-\frac{1}{a}＜1$，所以函數(shù)的定義域為$（{-\frac{1}{a}，\;1}）$-----------------（5分）
當a＜0且a≠-1時，得$\frac{{x+\frac{1}{a}}}{1-x}＜0$，即$（x+\frac{1}{a}）（x-1）＞0$．
①a＜-1時，$-\frac{1}{a}＜1$，所以函數(shù)的定義域為$（{-∞，-\frac{1}{a}}）∪（{1，+∞}）$；
②-1＜a＜0，$-\frac{1}{a}＞1$，所以函數(shù)的定義域為$（{-∞，1}）∪（{-\frac{1}{a}，+∞}）$．
當a=0時，$f（x）=lg\frac{1}{1-x}$函數(shù)的定義域為（-∞，1）-------------------（8分）
（Ⅲ）∵f（x）在[10，+∞）上是增函數(shù)，
∴$\frac{10a+1}{1-10}＞0$，∴$a＜-\frac{1}{10}$．----------（9分）
又$f（x）=lg\frac{ax+1}{1-x}=lg（-a+\frac{1+a}{1-x}）$，故對任意的x₁，x₂，
當10≤x₁＜x₂時，恒有f（x₁）＜f（x₂）即$lg（-a+\frac{1+a}{{1-{x_1}}}）＜lg（-a+\frac{1+a}{{1-{x_2}}}）$，
∴$\frac{1+a}{{1-{x_1}}}＜\frac{1+a}{{1-{x_2}}}$，---------------------------------------------------------------------（12分）
∴$（1+a）（\frac{1}{{1-{x_1}}}-\frac{1}{{1-{x_2}}}）＜0$，又∵$\frac{1}{{1-{x_1}}}＜\frac{1}{{1-{x_2}}}$，∴1+a＞0∴a＞-1
綜上可知$-1＜a＜-\frac{1}{10}$．------------------------------------------------------------（14分）

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵..