Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)存在極小值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出， 分兩種情況分別令得增區(qū)間， 得減區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)存在極小值點(diǎn)，所以在上存在兩個(gè)零點(diǎn)， ，設(shè)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，由，得，所以可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)，所以其定義域?yàn)?/span>.

所以 .

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)， .

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅱ）因?yàn)?/span> ，

所以 （）.

因?yàn)楹瘮?shù)存在極小值點(diǎn)，所以在上存在兩個(gè)零點(diǎn)， ，且.

即方程的兩個(gè)根為， ，且，

所以，解得.

則 .

當(dāng)或時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為與，單調(diào)遞增區(qū)間為.

所以為函數(shù)的極小值點(diǎn).

由，得.

由于等價(jià)于.

由，得，所以.

因?yàn)?/span>，所以有，即.

因?yàn)?/span>，所以.

解得.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.