【題目】已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，過A，B作準線的垂線交準線與P，Q兩點．R是PQ的中點．

（1）證明：以PQ為直徑的圓恒過定點F．

（2）證明：AR∥FQ．

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）求得拋物線的焦點F，設直線l的方程為x=my+，聯(lián)立拋物線方程，設A（，y1），B（，y2），運用韋達定理，求得拋物線的準線方程，可得P，Q，R的坐標，

求得，，由向量垂直的條件，即可得證；

（2）設AR的斜率為k1，FQ的斜率為k2，運用直線的斜率公式和兩直線平行的條件，以及韋達定理，即可得證．

證明：（1）拋物線C：y2=2x的焦點F（，0），設直線l的方程為x=my+，

聯(lián)立拋物線方程可得y2-2my-1=0，

設A（，y1），B（，y2），則y1+y2=2m，y1y2=-1，

拋物線的準線方程為x=-，可得P（-，y1），Q（-，y2），R（-，），

則=（1，-y1），=（1，-y2），可得=1+y1y2=1-1=0，

即PF⊥QF，以PQ為直徑的圓恒過定點F；

（2）設AR的斜率為k1，FQ的斜率為k2，

則k2==-y2，

k1=====-y2，

即k1=k2，

則AR∥FQ．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求在區(qū)間上的最值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當時，有恒成立，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)（，常數(shù)）．

（1）當時，討論函數(shù)的奇偶性并說明理由；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求正數(shù)的取值范圍；

（3）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】某市為創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市，引入某公司的智能垃圾處理設備.已知每臺設備每月固定維護成本萬元，每處理一萬噸垃圾需增加萬元維護費用，每月處理垃圾帶來的總收益萬元與每月垃圾處理量（萬噸）滿足關系：（注：總收益=總成本+利潤）

（1）寫出每臺設備每月處理垃圾獲得的利潤關于每月垃圾處理量的函數(shù)關系；

（2）該市計劃引入臺這種設備，當每臺每月垃圾處理量為何值時，所獲利潤最大？并求出最大利潤.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，(為常數(shù))

(1)若

①求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值。

②若過點可作函數(shù)的三條不同的切線，求實數(shù)的取值范圍。

(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知在棱長為的正方體中，分別是棱，的中點.

求證：（1）四邊形是梯形；

（2）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計如表：

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

年份代碼t

1

2

3

4

5

6

年產(chǎn)量y(萬噸)

6.6

6.7

7

7.1

7.2

7.4

（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關于的線性回歸方程；

（Ⅱ）根據(jù)線性回歸方程預測2019年該地區(qū)該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量.

附:對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.(參考數(shù)據(jù):，計算結果保留小數(shù)點后兩位）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知三棱錐P﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝3，O是AB中點，E是PB中點．

（1）證明：平面PAB⊥平面ABC；

（2）求點B到平面OEC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線方程為，其中

（1）求證：直線恒過定點；

（2）當變化時，求點到直線的距離的最大值；

（3）若直線分別與軸、軸的負半軸交于兩點，求面積的最小值及此時的直線方程．

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