Question

【題目】已知直線方程為，其中

（1）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；

（2）當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值；

（3）若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)的直線方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

試題（1）本題考察的是直線恒過(guò)定點(diǎn)，本題中直線含參數(shù)，我們需要把直線方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，把含的綜合在一起，求出兩個(gè)方程的解集即可得到定點(diǎn)．

（2）本題考察的是求點(diǎn)到直線的距離的最大值，因?yàn)橹本�恒過(guò)定點(diǎn)，只需保證定點(diǎn)與已知點(diǎn)的連線與已知直線垂直時(shí)距離最大，所以距離的最大值即為已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求出答案．

（3）本題考察的是求直線的截距問(wèn)題，由（1）直線過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出直線方程，分別求出在軸的截距，根據(jù)面積公式結(jié)合基本不等式即可求出相應(yīng)的斜率，從而求出直線方程．

試題解析：（1）證明：直線方程為，

可化為

對(duì)任意都成立，所以，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．

（2）點(diǎn)到直線的距離最大，可知點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的距離就是所求最大值，

即

（3）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，直線方程為，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，面積的最小值為4

此時(shí)直線的方程為