Question

【題目】已知函數(shù)（，常數(shù)）．

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的奇偶性并說明理由；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求正數(shù)的取值范圍；

（3）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)是偶函數(shù)，詳見解析

（2）正數(shù)的取值范圍為

（3）實(shí)數(shù)的取值范圍為

【解析】

(1)利用定義法求的單調(diào)性;

(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì),原題可以轉(zhuǎn)變?yōu)?/span>在區(qū)間上單調(diào),從而研究的單調(diào)性,即可得出結(jié)論;

(3)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,當(dāng)時(shí),將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,然后分別確定的最大值和最小值即可得出結(jié)論.

(1)當(dāng)時(shí),,是偶函數(shù),理由如下:

的定義域?yàn)?/span>,而,

因此當(dāng)時(shí)是偶函數(shù);

(2)令(),

因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào),且在定義域上單調(diào)遞增,

所以在區(qū)間上單調(diào),

又,

其單調(diào)遞減區(qū)間為,

所以,即;

(3)不等式對(duì)任意恒成立,

即對(duì)任意恒成立,

①當(dāng)時(shí),不等式恒成立;

②當(dāng)時(shí),則有對(duì)任意恒成立,

設(shè),則其在上單調(diào)遞增,故,

設(shè),則其在上單調(diào)遞減,故,

所以;

綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.