【題目】如圖,在空間幾何體中,平面平面,與都是邊長為2的等邊三角形,,點(diǎn)在平面上的射影在的平分線上,已知和平面所成角為.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】分析:(1)取中點(diǎn),連接,先證明,再證明平面. (2)由已知,兩兩互相垂直,故以為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求二面角的余弦值.
詳解:(1)證明:由題意知,與都是邊長為2的等邊三角形,取中點(diǎn),連接,則,.
又∵平面平面,平面,作平面,
那么,根據(jù)題意,點(diǎn)落在上,
∵和平面所成角為,∴.
∵,∴,
∴四邊形是平行四邊形,∴,∴平面,平面,
∴平面.
(2)由已知,兩兩互相垂直,故以為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,得,,.
∴,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為.
∵,∴.令,∴取,
又∵平面的一個(gè)法向量,∴.
又由圖知,所求二面角的平面角為銳角,∴ 二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量(單位:千克)與銷售價(jià)格(單位:元/千克)滿足,其中,為常數(shù).已知銷售價(jià)格為7元/千克時(shí),每日可售出該商品11千克.
(1)求的值;
(2)若該商品成本為5元/千克,試確定銷售價(jià)格值,使商場每日銷售該商品所獲利潤最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年2月9-25日,第23屆冬奧會(huì)在韓國平昌舉行.4年后,第24屆冬奧會(huì)將在中國北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會(huì),某大學(xué)在平昌冬奧會(huì)開幕后的第二天,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了120名學(xué)生,對(duì)是否收看平昌冬奧會(huì)開幕式情況進(jìn)行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
(Ⅰ)根據(jù)上表說明,能否有的把握認(rèn)為,收看開幕式與性別有關(guān)?
(Ⅱ)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了開幕式的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取12人參加2022年北京冬奧會(huì)志愿者宣傳活動(dòng).
(ⅰ)問男、女學(xué)生各選取了多少人?
(ⅱ)若從這12人中隨機(jī)選取3人到校廣播站開展冬奧會(huì)及冰雪項(xiàng)目的宣傳介紹,設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為,寫出的分布列,并求.
收看 | 沒收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的長軸長為,且橢圓與圓: 的公共弦長為.
(1)求橢圓的方程.
(2)經(jīng)過原點(diǎn)作直線(不與坐標(biāo)軸重合)交橢圓于, 兩點(diǎn), 軸于點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且,求證: , , 三點(diǎn)共線..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為拋物線:的焦點(diǎn),過的動(dòng)直線交拋物線于,兩點(diǎn).當(dāng)直線與軸垂直時(shí),.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)直線的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),拋物線上存在點(diǎn)使得直線,,的斜率成等差數(shù)列,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的四項(xiàng)參賽作品,只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“或作品獲得一等獎(jiǎng)”;
乙說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”;
丙說:“, 兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;
丁說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”.
若這四位同學(xué)只有兩位說的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,,分別是其左、右焦點(diǎn),且過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若在直線上任取一點(diǎn),從點(diǎn)向的外接圓引一條切線,切點(diǎn)為.問是否存在點(diǎn),恒有?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖1所示,在邊長為12的正方形,中,,且,分別交于點(diǎn),將該正方形沿,折疊,使得與重合,構(gòu)成如圖2 所示的三棱柱,在該三棱柱底邊上有一點(diǎn),滿足; 請(qǐng)?jiān)趫D2 中解決下列問題:
(I)求證:當(dāng)時(shí),//平面;
(Ⅱ)若直線與平面所成角的正弦值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線:的焦點(diǎn),與拋物線相交于、兩點(diǎn),且.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的兩條直線、分別交拋物線于點(diǎn)、和、,線段和的中點(diǎn)分別為、.如果直線與的斜率之積等于1,求證:直線經(jīng)過一定點(diǎn).
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