Question

隨著我國新型城鎮(zhèn)化建設(shè)的推進(jìn)，城市人口有了很大發(fā)展，生活垃圾也急劇遞增．據(jù)統(tǒng)計(jì)資料顯示，到2013年末，某城市堆積的垃圾已達(dá)到50萬噸，為減少垃圾對環(huán)境污染，實(shí)現(xiàn)無害化、減量化和再生資源化，該市對垃圾進(jìn)行資源化和回收處理．
（1）假設(shè)2003年底該市堆積的垃圾為10萬噸，從2003年底到2013年底這十年中，該市每年產(chǎn)生的新垃圾以10%的年平均增長率增長，試求2013年，該市產(chǎn)生的新垃圾約有多少噸？
（2）根據(jù)預(yù)測，從2014年起該市還將以每年3萬噸的速度產(chǎn)生新的垃圾，同時(shí)政府規(guī)劃每年處理上年堆積垃圾的20%，現(xiàn)用b₁表示2014年底該市堆積的垃圾數(shù)量，b₂表示2015年底該市堆積的垃圾數(shù)量，…，b_n表示經(jīng)過n年后該城市年底堆積的垃圾數(shù)量．
①求b₁的值和b_n的表達(dá)式；
②經(jīng)過多少年后，該城市的垃圾數(shù)量可以控制在30萬噸的范圍內(nèi)．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：1.1¹¹=2.9，1.1¹⁰=2.6，1.1⁹=2.4，1.1⁸=2.1）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)2004年該城市產(chǎn)生垃圾為x萬噸，根據(jù)市每年產(chǎn)生的新垃圾以10%的年平均增長率增長，建立方程，利用等比數(shù)列的求和公式即可得到結(jié)果；
（2）①b₁=50×0.8+3；b_n=50×（

4

5

）ⁿ+3×（

4

5

）^n-1+3×（

4

5

）^n-2+…+3×

4

5

+3；②解不等式15+35×(

4

5

)n≤30，可得(

4

5

)n≤

3

7

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)2004年該城市產(chǎn)生垃圾為x萬噸，依題意得：10+x+1.1x+1.1²x+…+1.1⁹x=50，…（2分）
所以

1-1.110

1-1.1

x=40，所以x=

0.1

1.110-1

×40=2.5（萬噸）…（4分）
所以2013年該城市產(chǎn)生的新垃圾為2.5×1.1⁹=7（萬噸）；…（5分）
（2）①b₁=50×0.8+3=43（萬噸）；…（6分）
∵b1=50×0.8+3=50×

4

5

+3=43，b2=

4

5

b1+3=50×(

4

5

)2+3×

4

5

+3，bn=

4

5

bn-1+3=(

4

5

)2bn-2+3×(

4

5

)+3…（7分）
所以bn=50×(

4

5

)n+3×(

4

5

)n-1+3×(

4

5

)n-2+…+3×

4

5

+3=50×(

4

5

)n+3×

1-( 4 5 )n

1- 4 5

=50×(

4

5

)n+15(1-(

4

5

)n)=15+35×(

4

5

)n…（9分）
②由題意，15+35×(

4

5

)n≤30，∴(

4

5

)n≤

3

7

，…（10分）
∵(

4

5

)3-

3

7

＞0，(

4

5

)4-

3

7

＜0，f(n)=(

4

5

)n是n的減函數(shù)，…（12分）
∴n≥4時(shí)，該城市垃圾堆積量會少于30萬噸，
∴4年后該城市垃圾量可以控制在30萬噸內(nèi)．…（13分）

點(diǎn)評：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解�！�還原四個(gè)過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．