Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的焦點在x軸上，離心率為

5

3

，且經過點（0，2）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）以橢圓的長軸為直徑作圓O，設T為圓O上不在坐標軸上的任意一點，M為x軸上一點，過圓心O作直線TM的垂線交橢圓右準線于點Q．問：直線TQ能否與圓O總相切，如果能，求出點M的坐標；如果不能，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知條件推導出b=2，e=

c

a

=

5

3

，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）存在點M(

5

，0)，使得直線TQ與圓O總相切．設點T（x₀，y₀），M（c，0），由已知條件推導出x₀y₀≠0且x02+y02=9，直線OQ的方程為y=-

x0-c

y0

x，Q(

9 5

5

，-

9 5 (x0-c)

5y0

)，由此能推導出存在這樣點M(

5

，0)，使得TQ與圓O總相切．

解答： 解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵橢圓經過點（0，2），∴b=2，
又∵離心率為

5

3

，∴e=

c

a

=

5

3

，可令c=

5

x，a=3x，
∴b²=a²-c²=4x²=4，解得x=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

9

+

y2

4

=1．…（6分）
（2）存在點M(

5

，0)，使得直線TQ與圓O總相切．…（7分）
設點T（x₀，y₀），M（c，0），
∵T在以橢圓的長軸為直徑作圓O上，且不在坐標軸上的任意點，
∴x₀y₀≠0且x02+y02=9，又∵kTM=

y0

x0-c

，
∴OQ⊥TM，∴kOQ=-

x0-c

y0

，
∴直線OQ的方程為y=-

x0-c

y0

x，…（10分）
∵點Q在直線x=

9 5

5

上，
令x=

9 5

5

，得y=-

9 5 (x0-c)

5y0

，
即Q(

9 5

5

，-

9 5 (x0-c)

5y0

)，…（12分）
∴kTQ=

y0+ 9 5 (x0-c) 5y0

x0- 9 5 5

=

5 y 2 0 +9 5 (x0-c)

y0(5x0-9 5 )

=

5(9-x02)+9 5 (x0-c)

y0(5x0-9 5 )

，
又∵kOT=

y0

x0

，TQ與圓O總相切，∴OT⊥TQ，
于是有k_OT•k_TQ=-1，kTQ=-

x   0

y0

，
即

5(9-x02)+9 5 (x0-c)

y0(5x0-9 5 )

=-

x0

y0

恒成立，解得c=

5

，
∴存在這樣點M(

5

，0)，使得TQ與圓O總相切．…（16分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點的判斷與求法，解題時要認真審題，注意直線與橢圓的位置關系的靈活運用．