Question

【題目】已知數列的各項均為非負數，其前項和為，且對任意的，都有.

（1）若， ，求的最大值；

（2）若對任意，都有，求證： .

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據已知條件變形可得，即，設，根據累加求和可得，根據不等式，可以得出的取值范圍，又因為，便可求出的最大值；（2）首先假設，根據已知條件得 ，于是通過證明對于固定的值，存在，由此得出與矛盾，所以得到，再設，則根據可得，接下來通過放縮，可以得到，于是可以得出要證的結論.

試題解析：（1）由題意知，設 ，

則，且，

，

所以，

.

（2）若存在，使得，則由，

得，

因此，從項開始，數列嚴格遞增，

故 ，

對于固定的，當足夠大時，必有，與題設矛盾，所以不可能遞增，即只能.

令， ，

由，得， ，

故 ，

，

所以，

綜上，對一切，都有.