【題目】動點在圓 上運動,定點,線段的垂直平分線與直線的交點為

(Ⅰ)求的軌跡的方程;

(Ⅱ)過點的直線, 分別交軌跡, 兩點和 兩點,且.證明:過中點的直線過定點.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)

【解析】試題分析:(Ⅰ)先利用線段的中垂線的性質(zhì)和橢圓的定義判定動點的軌跡為橢圓,再求其軌跡方程;(Ⅱ)先利用直線的特殊情況探索直線過定點,再聯(lián)立直線和橢圓方程,得到關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標(biāo)公式進行求解.

試題解析:(Ⅰ)連接,根據(jù)題意,可知,則,

點的軌跡為以、為焦點,長軸長為4的橢圓,則,

,

所以點的軌跡的方程為

(Ⅱ)分別設(shè)直線的中點為,當(dāng)直線斜率不存在或為0時,分析可知直線軸重合,當(dāng)直線的斜率為1時,此時, ,直線的方程為,聯(lián)立解得直線經(jīng)過定點

下面證明一般性:當(dāng)直線的斜率存在且不為0,1時,設(shè)直線的方程為,

則直線的方程為,設(shè), ,

聯(lián)立消去,

,所以,

,同理: ,

于是直線的斜率為,

故直線的方程為,

顯然時, ,故直線經(jīng)過定點

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(Ⅰ)求的值和的方程;

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(1)求乙班總分超過甲班的概率;

(2)主持人最后宣布:甲班第六位選手的得分是90分,乙班第六位選手的得分是97分.若主持人從甲乙兩班所有選手成績中分別隨機抽取2個,記抽取到“晉級”選手的總?cè)藬?shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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