【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若曲線在點處的切線與直線垂直,求的值與曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)若,且當(dāng)時, 恒成立,求的最大值.()
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線垂直的判定求出值,進而利用點斜式方程進行求解;(Ⅱ)分離參數(shù),合理構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.
試題解析:(Ⅰ)因為,所以, .
又曲線在點處的切線與直線垂直,故,解得,
所以, .
所以曲線在點處的切線方程為,即.
(Ⅱ)當(dāng)時, 恒成立等價于恒成立,等價于當(dāng)時, 恒成立.
設(shè)(),則,記,
則,所以在上單調(diào)遞增.
又, ,
所以在上存在唯一的實數(shù)根,使得,①
因此當(dāng)時, ,即,則在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時, ,即,則在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時, ,由①可得,
所以.
因為, ,又, ,
所以,因此,
又,所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點,動點, 分別在軸, 軸上運動, , 為平面上一點, ,過點作平行于軸交的延長線于點.
(Ⅰ)求點的軌跡曲線的方程;
(Ⅱ)過點作軸的垂線,平行于軸的兩條直線, 分別交曲線于, 兩點(直線不過),交于, 兩點.若線段中點的軌跡方程為,求與的面積之比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的各項均為非負(fù)數(shù),其前項和為,且對任意的,都有.
(1)若, ,求的最大值;
(2)若對任意,都有,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosωxsin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)討論f(x)在區(qū)間[0, ]上的單調(diào)性;
(3)當(dāng)x∈[0, ]時,關(guān)于x的方程f(x)=a 恰有兩個不同的解,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+ cosx)﹣1(其中x∈R),求:
(1)函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(3)函數(shù)f(x)圖象的對稱軸和對稱中心.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某校組織的“共筑中國夢”競賽活動中,甲、乙兩班各有6名選手參賽,在第一輪筆試環(huán)節(jié)中,評委將他們的筆試成績作為樣本數(shù)據(jù),繪制成如圖所示的莖葉圖,為了增加結(jié)果的神秘感,主持人故意沒有給出甲、乙兩班最后一位選手的成績,只是告訴大家,如果某位選手的成績高于90分(不含90分),則直接“晉級”.
(1)求乙班總分超過甲班的概率;
(2)主持人最后宣布:甲班第六位選手的得分是90分,乙班第六位選手的得分是97分.若主持人從甲乙兩班所有選手成績中分別隨機抽取2個,記抽取到“晉級”選手的總?cè)藬?shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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