【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在x= 取得最大值2,方程f(x)=0的兩個(gè)根為x1、x2 , 且|x1﹣x2|的最小值為π.
(1)求f(x);
(2)將函數(shù)y=f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來的 ,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間和在(﹣
,
)上的值域.
【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在x= 取得最大值2,∴A=2,
方程f(x)=0的兩個(gè)根為x1、x2,且|x1﹣x2|的最小值為 =
=π,∴ω=1,
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得1 +φ=
,∴φ=
,∴
(2)解:將函數(shù)y=f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來的 ,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)=2sin(2x+
)的圖象,
令2kπ﹣ ≤2x+
≤2kπ+
,求得kπ﹣
≤x≤kπ+
,可得函數(shù)g(x)的增區(qū)間為[kπ﹣
,kπ+
],k∈Z.
在(﹣ ,
)上,∵2x+
∈(﹣
,
),∴g(x)=2sin(2x+
)∈(﹣1,2]
【解析】(1)由最值求出A,由周期求出ω,由五點(diǎn)法作圖求出φ的值,可得函數(shù)的解析式.(2)根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,求得g(x)的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域,求得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握圖象上所有點(diǎn)向左(右)平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)
的圖象;再將函數(shù)
倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)
的圖象;再將函數(shù)
的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的
倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)
的圖象.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=2,點(diǎn)E、F分別在邊AB、DC上,M為AD的中點(diǎn),且 =0,則△MEF的面積的取值范圍為( )
A.
B.[1,2]
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的焦點(diǎn)
、
在
軸上,且橢圓
經(jīng)過
,過點(diǎn)
的直線
與
交于點(diǎn)
,與拋物線
:
交于
、
兩點(diǎn),當(dāng)直線
過
時(shí)
的周長為
.
(Ⅰ)求的值和
的方程;
(Ⅱ)以線段為直徑的圓是否經(jīng)過
上一定點(diǎn),若經(jīng)過一定點(diǎn)求出定點(diǎn)坐標(biāo),否則說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)
,
分別在
軸,
軸上運(yùn)動(dòng),
,
為平面上一點(diǎn),
,過點(diǎn)
作
平行于
軸交
的延長線于點(diǎn)
.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡曲線
的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)作
軸的垂線
,平行于
軸的兩條直線
,
分別交曲線
于
,
兩點(diǎn)(直線
不過
),交
于
,
兩點(diǎn).若線段
中點(diǎn)的軌跡方程為
,求
與
的面積之比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表是某校高三一次月考5個(gè)班級的數(shù)學(xué)、物理的平均成績:
班級 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
數(shù)學(xué)( | 111 | 113 | 119 | 125 | 127 |
物理( | 92 | 93 | 96 | 99 | 100 |
(Ⅰ)一般來說,學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求兩個(gè)變量,
的線性回歸方程
;
(Ⅱ)從以上5個(gè)班級中任選兩個(gè)參加某項(xiàng)活動(dòng),設(shè)選出的兩個(gè)班級中數(shù)學(xué)平均分在115分以上的個(gè)數(shù)為,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附: ,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=sin2(π+x)﹣cos(2π﹣x)+a
(1)求f(x)的值域
(2)若f(x)在(0, )內(nèi)有零點(diǎn),求a的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù),其前
項(xiàng)和為
,且對任意的
,都有
.
(1)若,
,求
的最大值;
(2)若對任意,都有
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某校組織的“共筑中國夢”競賽活動(dòng)中,甲、乙兩班各有6名選手參賽,在第一輪筆試環(huán)節(jié)中,評委將他們的筆試成績作為樣本數(shù)據(jù),繪制成如圖所示的莖葉圖,為了增加結(jié)果的神秘感,主持人故意沒有給出甲、乙兩班最后一位選手的成績,只是告訴大家,如果某位選手的成績高于90分(不含90分),則直接“晉級”.
(1)求乙班總分超過甲班的概率;
(2)主持人最后宣布:甲班第六位選手的得分是90分,乙班第六位選手的得分是97分.若主持人從甲乙兩班所有選手成績中分別隨機(jī)抽取2個(gè),記抽取到“晉級”選手的總?cè)藬?shù)為,求
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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