Question

已知函數(shù)f（x）=x+

3a2

x

-2alnx在區(qū)間（1，2）內是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：常規(guī)題型,導數(shù)的綜合應用

分析：函數(shù)在區(qū)間（1，2）內是增函數(shù)，轉化成導數(shù)在這個區(qū)間上大于等于0恒成立問題，然后把恒成立轉化成導數(shù)的最小值大于等于0．

解答： 解：∵f′（x）=1-

3a2

x2

-

2a

x

=

x2-2ax-3a2

x2

  要使函數(shù)f（x）=x+

3a2

x

-2alnx在區(qū)間（1，2）內是增函數(shù)，需f′（x）≥0在（1，2）上恒成立；
  即

x2-2ax-3a2

x2

≥0在（1，2）上恒成立，
  即x²-2ax-3a²≥0在（1，2）上恒成立，
  設h（x）=x²-2ax-3a²，則它的對稱軸為x=a，
  ①當a≤1時，h（1）=1-2a-3a²≥0，解得-1≤a≤

1

3

；
  ②當1＜a＜2時，△=4a²+12a²≤0，a不存在；
  ③當a≥2時，h（2）=4-4a-3a²≥0，a不存在；
綜上可知，a的取值范圍是-1≤a≤

1

3

．
故答案為：-1≤a≤

1

3

．

點評：本題考查了導數(shù)在研究函數(shù)單調性中的應用，重點考查了轉化思想與分類討論的思想；關鍵是把問題轉化成求最值問題解決．