Question

已知（x-m）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷的展開式中x³的系數(shù)是35，則a₁+a₂+a₃+…+a₇=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：由條件求得a₀=（-m）⁷，根據(jù)展開式中x³的系數(shù)是35，求得m=±1．在（x-m）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷中，令x=1，可得（1-m）⁷=a₀+a₁+a₂+…+a₇ ①，分當(dāng)m=1時(shí)和當(dāng)m=-1時(shí)兩種情況，分別由①求得a₁+a₂+a₃+…+a₇的值．

解答： 解：∵（x-m）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷ ，∴a₀=（-m）⁷．
又展開式中x³的系數(shù)是35，可得

C

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•（-m）⁴=35，∴m=±1．
∴a₀=（-m）⁷=±1．
在（x-m）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷中，令x=1，可得（1-m）⁷=a₀+a₁+a₂+…+a₇ ①，
當(dāng)m=1時(shí)，a₀=-1，由①可得0=-1+a₁+a₂+…+a₇ ，即 a₁+a₂+a₃+…+a₇=1．
當(dāng)m=-1時(shí)，a₀=1，由①可得2⁷=1+a₁+a₂+…+a₇ ，即 a₁+a₂+a₃+…+a₇=127，
故答案為：-1或129．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式的系數(shù)和常用的方法是賦值法，屬于中檔題．