【題目】已知f(x)=ax﹣lnx,x∈(0,e],其中e是自然常數(shù),a∈R.
(1)當a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.
(3)證明:(1﹣ )( )( )…( )<e33n

【答案】
(1)解:因為f(x)=x﹣lnx,f′(x)=1﹣ = ,

所以當0<x<1時,f'(x)<0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,

當1<x≤e時,f'(x)>0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,

所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)=1


(2)解:假設存在實數(shù)a,使f(x)=ax﹣lnx,x∈(0,e],有最小值3,

則f′(x)=a﹣ = ,

① 當a≤0時,f'(x)<0,f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,

f(x)min=f(e)=ae﹣1=3,a= ,(舍去),此時函數(shù)f(x)的最小值不是3.

②當0< <e時,f(x)在(0, ]上單調(diào)遞減,f(x)在( ,e]上單調(diào)遞增.

所以f(x)min=f( )=1+lna=3,a=e2,滿足條件.

③當 ≥e時,f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,f(x)min=f(e)=ae﹣1=3,a= ,(舍去),

此時函數(shù)f(x)的最小值是不是3,

綜上可知存在實數(shù)a=e2,使f(x)的最小值是3


(3)證明:由(2)知:當x∈(0,e],e2x﹣lnx≥3,∴l(xiāng)nx≤e2x﹣3,

n個式子相加得: ;


【解析】(1)當a=1時,求函數(shù)的定義域,然后利用導數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)性;(2)利用導數(shù)求函數(shù)的最小值,讓最小值等于3,解參數(shù)a;(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到lnx≤e2x﹣3,令x= ,累加即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減,以及對函數(shù)的極值與導數(shù)的理解,了解求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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