【題目】已知函數(shù)f(x)在其定義區(qū)間[a,b]上滿足①f(x)>0;②f′(x)<0;③對任意的x1 , x2∈[a,b],式子 ≤ 恒成立.記S1= f(x)dx,S2= (b﹣a),S3=f(b)(b﹣a),則S1 , S2 , S3的大小關系為 . (按由小到大的順序)
【答案】s3<s1≤s2
【解析】解:由微積分中值定理:可知若函數(shù) f(x) 在 閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點 ξ, 使得: f(x)dx=f(ξ)(b﹣a),a≤ξ≤b,
∵f′(x)<0,f(x)在定義區(qū)間[a,b]單調(diào)遞減,f(b)<f(ξ),
∴s3<S1 ,
對任意的x1 , x2∈[a,b],式子 ≤ 恒成立,
函數(shù)圖象可知:當 = 時,
由定積分的幾何意義可知,S1= f(x)dx= (b﹣a)=S2 ,
當 < ,
由函數(shù)圖象可知:函數(shù)單調(diào)遞減且為凹函數(shù),根據(jù)定積分的幾何意義可知:
S1= f(x)dx< (b﹣a)=S2 ,
∴s1≤s2 .
綜上可知:s3<s1≤s2 .
所以答案是:s3<s1≤s2 .
【考點精析】關于本題考查的定積分的概念,需要了解定積分的值是一個常數(shù),可正、可負、可為零;用定義求定積分的四個基本步驟:①分割;②近似代替;③求和;④取極限才能得出正確答案.
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【題目】已知圓C的圓心在直線3x+y﹣1=0上,且x軸,y軸被圓C截得的弦長分別為2 ,4 ,若圓心C位于第四象限
(1)求圓C的方程;
(2)設x軸被圓C截得的弦AB的中心為N,動點P在圓C內(nèi)且P的坐標滿足關系式(x﹣1)2﹣y2= ,求 的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lg(x+1),g(x)=lg(1﹣x). (Ⅰ)求函數(shù)f(x)+g(x)的定義域;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)+g(x)的奇偶性,并說明理由;
(Ⅲ)判斷函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性,并加以證明.
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【題目】已知f(x)=ax﹣lnx,x∈(0,e],其中e是自然常數(shù),a∈R.
(1)當a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.
(3)證明:(1﹣ )( )( ﹣ )…( ﹣ )<e3(3﹣n) .
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【題目】函數(shù)f(x)=2sin(2x+ ),g(x)=mcos(2x﹣ )﹣2m+3(m>0),若對任意x1∈[0, ],存在x2∈[0, ],使得g(x1)=f(x2)成立,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】一個勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪每12分鐘轉(zhuǎn)一周,最低點距地面2米,最高點距地面18米,P是摩天輪輪周上一定點,從P在最低點時開始計時,則14分鐘后P點距地面的高度是米.
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