Question

【題目】設函數(shù).

(Ⅰ)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點，且，求證: ；

(Ⅲ)設，對于任意，總存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）當時，求導數(shù)，分別令和，即可求出的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)由兩個極值點，則是方程的兩個不相等的實根，結(jié)合韋達定理，可得，構(gòu)造新函數(shù)，求出其單調(diào)性，即可得證；（Ⅲ）根據(jù)題意寫出的表達式，求出在上的單調(diào)性，可得的最大值，列出不等式，構(gòu)造新函數(shù) ，分類討論，確定單調(diào)性，即可求出的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ）當時， ，當時或，

時，∴ 的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為

（Ⅱ）函數(shù)有兩個極值點，則是方程的兩個不相等的實根，所以， ，即， ，所以

，().

令，()，則

所以在上單調(diào)遞減. ，即.

（Ⅲ）∵

∴ ，

∵，

∴， 在上單調(diào)遞增，

∴ ，

∵ 在上恒成立

令 ， ，則在上恒成立．

當時， ， 在上單調(diào)遞減， ，不合題意；

當時， ， ，

（1），即時， 在上單調(diào)遞減，存在不合題意；

（2），即時， 在上單調(diào)遞增， ，滿足題意．

綜上，實數(shù)的取值范圍是．