【題目】已知遞增的等差數(shù)列{an},首項(xiàng)a1=2,Sn為其前n項(xiàng)和,且2S1 , 2S2 , 3S3成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
【答案】
(1)解:設(shè)遞增的等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),
2S1,2S2,3S3成等比數(shù)列,可得(2S2)2=2S13S3,
即有(4a1+2d)2=2a13(3a1+3d),
由a1=2,可得d2﹣d﹣2=0,
解得d=2(﹣1舍去),
則an=a1+(n﹣1)d=2+2(n﹣1)=2n;
(2)解:bn= = = ﹣ ,
則前n項(xiàng)和Tn=1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
=1﹣ = .
【解析】(1)設(shè)遞增的等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式,即可得到所求;(2)求得bn= = ﹣ ,運(yùn)用數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,化簡整理即可得到所求和.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識,掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系,以及對數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓O:x2+y2=r2(r>0),點(diǎn)P為圓O上任意一點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上),過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交圓O于另一點(diǎn)A,B.
(1)當(dāng)直線PA的斜率為2時,
①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣ ,﹣ ),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,且PA=2PB,求r的值;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在圓O上移動時,求證:直線OP與AB的斜率之積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中,BC邊上的高所在的直線方程為x﹣2y+1=0,∠A的角平分線所在的直線方程為y=0,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2).
(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)又過點(diǎn)C作直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)M,N,求△MON的面積最小值及此時直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(II)若對于任意,都有成立,求k的取值范圍;
(Ⅲ)若,且,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c,已知A=60°,a= ,sinB+sinC=6 sinBsinC,則△ABC的面積為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=lnx,g(x)= x2+mx+ (m<0),直線l與函數(shù)f(x)的圖象相切,切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,且直線l與函數(shù)g(x)的圖象也相切.
(1)求直線l的方程及實(shí)數(shù)m的值;
(2)若h(x)=f(x)﹣x+3,求函數(shù)h(x)的最大值;
(3)當(dāng)0<b<a時,求證:f(a+b)﹣f(2a)< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠隨機(jī)抽取部分工人調(diào)查其上班路上所需時間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),若上班路上所需時間的范圍是[0,100],樣本數(shù)據(jù)分組為[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].
(1)求直方圖中a的值;
(2)如果上班路上所需時間不少于1小時的工人可申請?jiān)诠S住宿,若招工2400人,請估計(jì)所招工人中有多少名工人可以申請住宿;
(3)該工廠工人上班路上所需的平均時間大約是多少分鐘.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn),且,求證: ;
(Ⅲ)設(shè),對于任意,總存在,使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩個學(xué)校高三年級分別有1100人,1000人,為了了解兩個學(xué)校全體高三年級學(xué)生在該地區(qū)二?荚嚨臄(shù)學(xué)成績清況,采用分層抽樣方法從兩個學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表如下:
甲校:
乙校:
(1)計(jì)算的值;
(2)若規(guī)定考試成績在內(nèi)為優(yōu)秀,請根據(jù)樣本估計(jì)乙校數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率;
(3)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異.
附: ; .
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