Question

【題目】設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）若，證明在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；

（2）在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出，再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；

（2）由題意可將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，

利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性，由，即可求出的取值范圍．

（1）若，則，，

設(shè)，則，，

，故函數(shù)是奇函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，，，這時(shí)，

又函數(shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

又，，

故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).

（2），由，所以恒成立，

若，則，設(shè)，

.

故當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，有，與條件矛盾，舍去；

當(dāng)時(shí)，令，則，

又，故在區(qū)間上有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)最小的零點(diǎn)為，

則當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增.

，所以.

于是，當(dāng)時(shí)，，得，與條件矛盾.

故的取值范圍是.