【題目】如圖,在底面是菱形的四棱錐中, 平面, ,點(diǎn)分別為的中點(diǎn),設(shè)直線與平面交于點(diǎn).
(1)已知平面平面,求證: .
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2).
【解析】試題分析:(1)由三角形中位線定理可得,利用線面平行的判定定理可得平面,在根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得;(2)由勾股定理可得 , ∵平面,由此可以點(diǎn)為原點(diǎn),直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組,分別求出直線的方向向量與平面的法向量,利用空間向量夾角余弦公式.
試題解析:(1)∵, 平面, 平面.
∴平面,
∵平面,平面平面
∴.
(2)∵底面是菱形, 為的中點(diǎn) ∴
∴ ∵平面,則以點(diǎn)為原點(diǎn),直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則
∴, ,
設(shè)平面的法向量為,有得
設(shè),則,
則解之得,∴,
設(shè)直線與平面所成角為
則
∴直線與平面所成角的正弦值為.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的性質(zhì)與判定以及利用空間向量求線面角,屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(導(dǎo)學(xué)號(hào):05856307)(12分)
某老師為了分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,隨機(jī)抽取了班上20名學(xué)生某次期末考試的成績(滿分為150分)進(jìn)行分析,統(tǒng)計(jì)如下:
男生:133 131 130 126 123 120 116 109 107 105
女生:136 127 125 123 119 118 117 114 113 108
(Ⅰ)計(jì)算男、女生成績的平均值并分析比較男、女生成績的分散程度;
(Ⅱ)現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在120分以下的女同學(xué)中隨機(jī)抽取2位,求這兩位同學(xué)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于10的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年10月份鄭州市進(jìn)行了高三學(xué)生的體育學(xué)業(yè)水平測試,為了考察高中學(xué)生的身體素質(zhì)比情況,現(xiàn)抽取了某校1000名(男生800名,女生200名)學(xué)生的測試成績,根據(jù)性別按分層抽樣的方法抽取100名進(jìn)行分析,得到如下統(tǒng)計(jì)圖表:
男生測試情況:
抽樣情況 | 病殘免試 | 不合格 | 合格 | 良好 | 優(yōu)秀 |
人數(shù) | 5 | 10 | 15 | 47 |
女生測試情況
抽樣情況 | 病殘免試 | 不合格 | 合格 | 良好 | 優(yōu)秀 |
人數(shù) | 2 | 3 | 10 | 2 |
(1)現(xiàn)從抽取的1000名且測試等級(jí)為“優(yōu)秀”的學(xué)生中隨機(jī)選出兩名學(xué)生,求選出的這兩名學(xué)生恰好是一男一女的概率;
(2)若測試等級(jí)為“良好”或“優(yōu)秀”的學(xué)生為“體育達(dá)人”,其它等級(jí)的學(xué)生(含病殘免試)為“非體育達(dá)人”,根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為“是否為體育達(dá)人”與性別有關(guān)?
男性 | 女性 | 總計(jì) | |
體育達(dá)人 | |||
非體育達(dá)人 | |||
總計(jì) |
臨界值表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
附:( ,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A是函數(shù)y=lg(20﹣8x﹣x2)的定義域,集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0(a>0)的解集,p:x∈A,q:x∈B.
(1)若A∩B=,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若¬p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,二面角的大小為90°,, , , .
(1)求證: ;
(2)試確定的值,使得直線與平面所成的角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)
已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)證明: 在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在時(shí)取到極值,求的值及的圖象在處的切線方程;
(2)若在時(shí)恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率為,且以兩焦點(diǎn)為直徑的圓的內(nèi)接正方形面積為2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線: 與橢圓相交于, 兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn),使直線與的斜率之和為定值?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo)及該定值,若不存在,試說明理由.
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