Question

【題目】已知圓經過點，,且它的圓心在直線上.

（Ⅰ）求圓的方程;

（Ⅱ）求圓關于直線對稱的圓的方程。

（Ⅲ）若點為圓上任意一點，且點,求線段的中點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先設出方程，將點坐標代入得到關于參數的方程組，通過解方程組得到參數值，從而確定其方程；（Ⅱ）求出N（2，4）關于x-y+3=0的對稱點為（1，5），即可得到圓N關于直線x-y+3=0對稱的圓的方程；（Ⅲ）首先設出點M的坐標，利用中點得到點D坐標，代入圓的方程整理化簡得到的中點M的軌跡方程

試題解析：：（Ⅰ）由已知可設圓心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，

從而有，解得：a=2．

于是圓N的圓心N（2，4），半徑．

所以，圓N的方程為．（5分）

（Ⅱ）N（2，4）關于x-y+3=0的對稱點為（1，5），

所以圓N關于直線x-y+3=0對稱的圓的方程為（9分）

（Ⅲ）設M（x，y），D，則由C（3，0）及M為線段CD的中點得：，解得又點D在圓N：上，所以有，

化簡得：．

故所求的軌跡方程為．（13分）