Question

【題目】已知數(shù)列中，, 且.

（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）令, 數(shù)列的前項(xiàng)和為, 試比較與的大小；

（3）令, 數(shù)列的前項(xiàng)和為, 求證: 對(duì)任意, 都有.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）令，求得，同理令，求得.對(duì)兩邊除以，得到，利用累加法求得，所以；（2）化簡(jiǎn)，則，.記函數(shù)，利用可得當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；（3）化簡(jiǎn)，故，利用放縮法，利用裂項(xiàng)求和法證得.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，, 當(dāng)時(shí)，,因?yàn)?/span>,所以,當(dāng)時(shí)，由累加法得, 因?yàn)?/span>,所以時(shí)，有，即，又時(shí)，，故.

（2）時(shí),,則.

記函數(shù)，所以,

則,所以.由于

,此時(shí)，,此時(shí),

,此時(shí),由于,故時(shí)，，此時(shí).綜上所述，當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

（3）證明: 對(duì)于,有,

當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)時(shí),

.且.故對(duì)得證.