Question

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位．已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x=1+tcosα y=tsinα

 （t為參數(shù)，0＜α＜π），曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求|AB|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可化為直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入y²=4x，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式及參數(shù)的幾何意義即可得出．

解答： 解：（I）由ρsin²θ=4cosθ，得（ρsinθ）²=4ρcosθ，
∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x． 
（II）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入y²=4x，得t²sin²α-4tcosα-4=0．
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，
則t₁+t₂=

4cosα

sin2α

，t₁t₂=-

4

sin2α

，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

( 4cosα sin2α )2+ 16 sin2α

=

4

sin2α

，
當(dāng)α=

π

2

時(shí)，|AB|的最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式及參數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．