Question

正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=4，其前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n²-（a_n+1+n-1）S_n-（a_n+1+n）=0．
（Ⅰ）求a_n與S_n；
（Ⅱ）令b_n=

2n-1+1

(3n-2)an

，數(shù)列{b_n²}的前n項(xiàng)和為T_n．證明：對(duì)于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

12

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出S_n=a_n+1+n．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和S_n．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出b1=

1

2

，b_n=

1

3n-2

，從而得到bk2＜

1

3

（

1

3k-4

-

1

3k-1

），由此能夠證明對(duì)于任意的n∈N^*，都有Tn＜

5

12

．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵S_n²-（a_n+1+n-1）S_n-（a_n+1+n）=0，
∴[S_n-（a_n+1+n）]（S_n+1）=0．
∵{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，∴S_n＞0，S_n=a_n+1+n．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=a_n+1+n-a_n-（n-1）．
∴a_n+1=2a_n-1，a_n+1-1=2（a_n-1），（n≥2），…（4分）
又∵a₁=S₁=a₂+1，a₁=4，∴a₂=3，
∴an-1=(a2-1)•2n-2，
∴a_n=2^n-1+1，n≥2，
綜上，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)an=

4，n=1 2n-1+1，n≥2

．
當(dāng)n=1時(shí)，S_n=4；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4+（2+2²+2³+…+2^n-1）+n-1
=4+

2(1-2n-1)

1-2

+n-1
=2ⁿ+n+1，
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴S_n=2ⁿ+n+1．…（7分）
（Ⅱ）證明：∵an=

4，n=1 2n-1+1，n≥2

，b_n=

2n-1+1

(3n-2)an

，
∴b1=

1

2

，b_n=

1

3n-2

，（n≥2），…（9分）
則當(dāng)k≥2時(shí)，有bk2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-4)(3k-1)

=

1

3

（

1

3k-4

-

1

3k-1

），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，有
T_n=

1

4

+

n

k=2

bk2＜

1

4

+

1

3

[（

1

2

-

1

5

）+（

1

5

-

1

8

）+…+（

1

3n-4

-

1

3n-1

）]
=

1

4

+

1

3

(

1

2

-

1

3n-1

)
＜

1

4

+

1

3

×

1

2

=

5

12

，
又n=1時(shí)，T1=b12=

1

4

＜

5

12

，
∴對(duì)于任意的n∈N^*，都有Tn＜

5

12

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的求法，考查數(shù)列不等式的證明，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．