Question

在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，就稱點（x，y）為整點，下列命題正確的個數是（　�。�
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行也不經過任何整點；
②如果k與b都是無理數，則直線y=kx+b不經過任何整點；
③直線l經過無窮多個整點，當且僅當l經過兩個不同的整點；
④直線y=kx+b經過無窮多個整點，當且僅當k與b都是有理數；
⑤存在恰經過一個整點的直線．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,直線與圓

分析：①舉例子說明命題是真命題；
②舉反例說明命題是假命題；
③取直線l的兩個不同整點，設方程為y=kx，把兩整點的坐標代入l的方程，兩式相減得到兩整點的橫、縱坐標之差的那個點也為整點且在l上，由此得到直線l經過無窮多個整點，判定命題為真；
④利用充分必要條件判斷即可；
⑤舉例子說明命題為真命題．

解答： 解：①直線y=x+

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，既不與坐標軸平行又不經過任何整點，∴命題①正確；
②當k=

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，b=-

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時，直線y=

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x-

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過整點（1，0），∴命題②錯誤；
③設y=kx為過原點的直線，若此直線l過不同的整點（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把兩點代入直線l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直線y=kx上且為整點，
通過這種方法得到直線l經過無窮多個整點，∴命題③正確；
④當直線y=kx+b經過無窮多個整點時，k、b都是有理數，如y=x+1，∴充分性成立；
反之，當k、b都是有理數時，直線y=kx+b經過無窮多個整點，不一定成立，如y=x+

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，∴必要性不成立；
∴命題④錯誤；
⑤直線y=

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x只過一個整點（0，0），∴命題⑤正確．
綜上，正確命題有3個，序號是①③⑤．
故選：C．

點評：本題考查了判定命題真假的問題以及對題中新定義的理解能力，是中檔題．