Question

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行也不經(jīng)過任何整點(diǎn)；
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)；
③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)；
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)k與b都是有理數(shù)；
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,直線與圓

分析：①舉例子說明命題是真命題；
②舉反例說明命題是假命題；
③取直線l的兩個(gè)不同整點(diǎn)，設(shè)方程為y=kx，把兩整點(diǎn)的坐標(biāo)代入l的方程，兩式相減得到兩整點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之差的那個(gè)點(diǎn)也為整點(diǎn)且在l上，由此得到直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，判定命題為真；
④利用充分必要條件判斷即可；
⑤舉例子說明命題為真命題．

解答： 解：①直線y=x+

1

2

，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)，∴命題①正確；
②當(dāng)k=

2

，b=-

2

時(shí)，直線y=

2

x-

2

過整點(diǎn)（1，0），∴命題②錯(cuò)誤；
③設(shè)y=kx為過原點(diǎn)的直線，若此直線l過不同的整點(diǎn)（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把兩點(diǎn)代入直線l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直線y=kx上且為整點(diǎn)，
通過這種方法得到直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，∴命題③正確；
④當(dāng)直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)時(shí)，k、b都是有理數(shù)，如y=x+1，∴充分性成立；
反之，當(dāng)k、b都是有理數(shù)時(shí)，直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，不一定成立，如y=x+

1

2

，∴必要性不成立；
∴命題④錯(cuò)誤；
⑤直線y=

2

x只過一個(gè)整點(diǎn)（0，0），∴命題⑤正確．
綜上，正確命題有3個(gè)，序號(hào)是①③⑤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了判定命題真假的問題以及對(duì)題中新定義的理解能力，是中檔題．