【題目】點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù),設(shè)點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點的直線與曲線交于,兩點,設(shè)的中點為,,兩點為曲線上關(guān)于原點對稱的兩點,且(),求四邊形面積的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)設(shè)出點的坐標,根據(jù)題意,列出方程,整理化簡即可求得動點的軌跡方程;
(2)設(shè)出直線的方程,利用弦長公式求得,再利用,建立直線與之間的聯(lián)系,再利用點到直線的距離,以及面積公式,將四邊形面積表示為函數(shù)形式,求該函數(shù)的值域即可.
(1)設(shè)動點,則到直線的距離,
由題可知:,即可得,
兩邊平方整理可得:
故曲線的方程為:.
(2)因為,故兩點不可能重合,
則直線的斜率不可能為0,
故可設(shè)直線方程為,
聯(lián)立橢圓方程,
可得,
設(shè)兩點坐標分別為,
則可得,
則
故可得,
因為,故可得四點共線,
故可得.
不妨設(shè)直線方程為,,
聯(lián)立直線與橢圓方程
可得,
設(shè),
則,即
則,即
則點到直線的距離為:
將代入上式即可得:
,,
故
又根據(jù)弦長公式可得:
故四邊形面積
,
因為,則,,
故.
故四邊形面積的取值范圍為.
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【題目】如圖,扇形AOB是一個觀光區(qū)的平面示意圖,其中圓心角∠AOB為,半徑OA為1 km.為了便于游客觀光休閑,擬在觀光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光道路,道路由弧AC、線段CD及線段DB組成,其中D在線段OB上,且CD∥AO.設(shè)∠AOC=θ.
(1)用θ表示CD的長度,并寫出θ的取值范圍;
(2)當θ為何值時,觀光道路最長?
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù),求的取值范圍;
(2)若恒成立,求的值.
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【題目】天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度,古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(,又名依巴谷)在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小,星星就越亮;星等的數(shù)值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度計在天體光度測量中的應(yīng)用,英國天文學(xué)家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍,則與最接近的是(當較小時, )
A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27
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【題目】造紙術(shù)是我國古代四大發(fā)明之一.紙張的規(guī)格是指紙張制成后,經(jīng)過修整切邊,裁成一定的尺寸.現(xiàn)在我國采用國際標準,規(guī)定以、、…、;、、…、等標記來表示紙張的幅面規(guī)格.復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用系列和系列,其中系列的幅面規(guī)格為:①規(guī)格的紙張的幅寬(以表示)和長度(以表示)的比例關(guān)系為;②將紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分,便成為規(guī)格.紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分,便成為規(guī)格,…,如此對開至規(guī)格.現(xiàn)有、、、…、紙各一張.若紙的面積為,則這9張紙的面積之和等于______.
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【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若在區(qū)間,上的最小值為1,求的值;
(Ⅱ)若“,使”為假命題,求的取值范圍.
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【題目】已知是兩條異面直線,直線與都垂直,則下列說法正確的是( )
A. 若平面,則
B. 若平面,則,
C. 存在平面,使得,,
D. 存在平面,使得,,
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【題目】在①,,②,,③,三個條件中任選一個補充在下面問題中,并加以解答.
已知的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,______,求的面積S.
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