Question

【題目】函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域為，求得，分、、三種情況討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（2）構造函數(shù)，由題意可知恒成立，對實數(shù)分和兩種情況討論，利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，驗證是否成立，由此可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，.

（i）當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（ii）當時，令得.

若，則；若，則.

①當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當時，，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

綜上，可得，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）設，，則.

當時，單調(diào)遞增，則.

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.

當時，，

于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立，符合題意；

當時，由于，，，

所以，存在，使得.

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.

故，不符合題意，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.