Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且平面平面．

（I）求異面直線與所成角的余弦值；

（II）若點(diǎn)在線段上移動(dòng)，是否存在點(diǎn)使平面與平面所成的角為？若存在，指出點(diǎn)的位置，否則說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）不存在，理由見解析．

【解析】

試題分析：根據(jù)題設(shè)條件取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系．（I）利用向量法可求得異面直線與所成角的余弦值．（II）首先設(shè)存在點(diǎn)，且,根據(jù)三點(diǎn)共線，利用向量法求得點(diǎn)，然后利用面面角為直角，由法向量構(gòu)建方程，可求得不符合題意，所以不存在．

試題解析：（I）因?yàn)槠矫?/span>平面，底面是菱形，，

故，取中點(diǎn)，則，，．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，，，，，，．………………2分

，，

則，，．

設(shè)異面直線與所成角為，，

所以異面直線與所成角的余弦值為．………………6分

（II）設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面所成的角為，

設(shè)，因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，，，，

所以，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，

令，，．………………8分

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，

令，，，又．………………10分

若平面與平面所成的角為，則，

故，即，此時(shí)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，

所以在邊上不存在點(diǎn)使平面與平面所成的角為．………………12分