Question

【題目】已知，，對任意，有成立.

（1）求的通項公式；

（2）設(shè)，，是數(shù)列的前項和，求正整數(shù)，使得對任意，恒成立；

（3）設(shè)，是數(shù)列的前項和，若對任意均有恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）或 （3）

【解析】

（1）由可得,結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得到的關(guān)系式,再結(jié)合可證明數(shù)列是等比數(shù)列,進(jìn)而可求出通項公式;

（2）將兩端同時除以,可得到,從而可證明數(shù)列是等差數(shù)列,即可求出的表達(dá)式,進(jìn)而求得的通項公式,通過判斷其表達(dá)式特點(diǎn),可求出滿足題意的正整數(shù);

（3）由題得,,利用裂項相消求和法可求出,結(jié)合不等式的性質(zhì),可求出的最小值.

（1）由題可得,則,

當(dāng)時,可得.

時,,則,即,

故數(shù)列是以2為首項,公比為2的等比數(shù)列,通項公式為.

（2）,等式兩端同時除以得:,即,

故是以為首項,公差為的等差數(shù)列,通項公式為,

則.

因為當(dāng)，，當(dāng)時,,所以當(dāng)或時,取最大值,對任意，恒成立.

（3）由題意,,

則,故.

所以的最小值為.