【題目】如下圖所示,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,PAAB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,點(diǎn)D,E分別在棱PB,PC上,且DEBC.

(1)求證:BC⊥平面PAC;

(2)當(dāng)DPB的中點(diǎn)時(shí),求AD與平面PAC所成的角的正弦值;

(3)是否存在點(diǎn)E,使得二面角ADEP為直二面角?并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)證明;(2) (3)見(jiàn)解析

【解析】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,(1)通過(guò)證明,再結(jié)合即可得結(jié)論;(2)結(jié)合(1)中的結(jié)論進(jìn)一步說(shuō)明與平面所成的角,先通過(guò)向量夾角公式求出余弦值,再求正弦值;(3)由已知條件推導(dǎo)出為二面角的平面角,由此能推導(dǎo)出存在點(diǎn)使得二面角是直二面角.

A為原點(diǎn),,分別為y軸、z軸的正方向,

過(guò)A點(diǎn)且垂直于平面PAB的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)PAa,由已知可得:A(0,0,0),B(0,a,0),C,P(0,0,a).

(1)=(0,0,a),,∴=0,∴,∴BCAP,

又∵∠BCA=90°,∴BCAC,∴BC⊥平面PAC.

(2)∵DPB的中點(diǎn),DEBC,∴EPC的中點(diǎn),

DE,

∴由(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足為點(diǎn)E,

∴∠DAEAD與平面PAC所成的角,

,,∴cos∠DAE,

AD與平面PAC所成的角的正弦值為.

(3)∵DEBC,又由(1)知BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,

又∵AE平面PAC,PE平面PAC,

DEAEDEPE,∴∠AEP為二面角ADEP的平面角.

PA⊥底面ABC,∴PAAC,∴∠PAC=90°,

∴在棱PC上存在一點(diǎn)E,使得AEPC,這時(shí)∠AEP=90°,

故存在點(diǎn)E,使得二面角ADEP是直二面角.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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