Question

【題目】給定正整數(shù)，已知用克數(shù)都是正整數(shù)的塊砝碼和一臺天平可以稱出質(zhì)量為克的所有物品．

（1）求的最小值；

（2）當(dāng)且僅當(dāng)取什么值時，上述塊砝碼的組成方式是惟一確定的？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)這塊砝碼的質(zhì)量數(shù)分別為，且．因為天平兩端都可以放砝碼，故可稱質(zhì)量為．若利用這塊砝碼可以稱出質(zhì)量為的

物品，則上述表示式中含有，由對稱性易知也含有，即

．

所以， ．即．

設(shè)，則．

且時，可取．

由數(shù)的三進(jìn)制表示可知，對任意，都有，其中．

則 ．

令，則．

故對一切的整數(shù)，都有，其中．

由于，因此，對一切的整數(shù)，也有上述表示．

綜上，可知的最小值．

（2）Ⅰ當(dāng)時，由（1）可知就是一種砝碼的組成方式．下面我們證明也是一種方式．

若，由（1）可知，則；

若，則．

由（1）可知，其中．

易知，．（否則矛盾）則．

所以，當(dāng)時，塊砝碼的組成方式不惟一．

Ⅱ．下面我們證明：當(dāng)時，塊砝碼的組成方式是惟一的，即．

若對每個，都有，即

．

注意左邊集合中至多有個元素，故必有 ．

從而，對每個，，都可以惟一地表示為，其中．

因而，，則．

令，則．

由上可知，對每個，都可以惟一地表示為，其中．

特別地，易知．

下面用歸納法證明．

當(dāng)時，易知中最小的正整數(shù)是，故．

假設(shè)當(dāng)時，．

由于就是數(shù)的三進(jìn)制表示，易知它們正好是，故應(yīng)是除上述表示外中最小的數(shù)，因此，．

由歸納法可知，．

綜合Ⅰ，Ⅱ可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，上述塊砝碼的組成方式是惟一確定的．